A négyzetes közép

A négyzetes közép fogalma

Egy periódikus függvény négyzetes közepén azt a számot értjük, melyre teljesül:

$$\int\limits_0^T{f^2(x)\,\mathrm{d}x}=\int\limits_0^T{k^2\,\mathrm{d}x}.$$

T a periódus hosszát jelöli.

Következmény: Mivel a jobboldal értéke , ezért

Néhány szükséges összefüggés

Két szükséges összefüggés középiskolából:

$$\sin^2 x+\cos^2x=1,\quad \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x.$$

Igazoljuk a következő két összefüggést.

$$\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}2,\quad \cos^2x=\frac{1+\cos 2x}2.$$

(Az egyenlet jobboldalából kiindulva megkapható a baloldal.)

A $\sin^2x$ és a $\cos^2x$ függvény négyzetes közepe

A fenti két egyenlet ismeretében integráljuk az függvény négyzetes közepét. (A függvény periódusa $\pi$)

Ebből a négyzetes középre vonatkozó összefüggés alapján:

$$k=\sqrt{\frac1{\pi}\int\limits_0^{\pi}{\sin^2x\,\mathrm{d}x}}=\sqrt{\frac12}$$

$$k=\frac1{\sqrt2}$$

A váltóáram esetén a feszültség az függvény szerint változik az idő függvényében. Levezethető, hogy a teljesítmény a feszültség négyzetével arányos, így az effektív feszültség (azaz annak az egyenfeszültségnek az értéke, melynek ugyanakkora a teljesítménye, mint az u(t) váltakozó feszültségé, $U_{eff}$), a csúcsfeszültség ($\hat U$) négyzetes közepe. (A periódus(idő) itt .) Igazoljuk a váltóáramra ismert összefüggést. (Vigyázzunk, most a változó $t$, így az integrál végére is $\mathrm{d}t$-t kell írni.)