A határozatlan integrál

Láthatjuk, hogy a primitívfüggvény segítségével elég könnyen meghatározható a határozott integrál. Ennek meghatározása viszont sokszor nagyon nehéz. A feladat megoldásához hasznos fogalom a határozatlan integrál.

A határozatlan integrál fogalma

Az függvény primitívfüggvényeinek összességét nevezzük az f függvény határozatlan integráljának.
Jele:

Az integrálandó függvényt (itt -et) integrandusnak nevezzük.

példa 3   Az legyen a függvény. Ennek egy primitív függvénye a függvény, tehát

$$\int{ \sin x \,\mathrm{d}x} = -\cos x +C.$$

(Itt a az integrandus.)

Az integrálás szabályai és az alapintegrálok

Az integrálás szabályai a tankönyv 202. oldalán található tételekben szerepelnek.

A továbbiakban használni fogjuk a tankönyv 201. oldalán szereplő integráltáblázatot. Gyakorlásképpen ellenőrizhetjük annak helyességét.

példa 4   A táblázat szerint . Valóban, hiszen a jobboldal deriváltja

$$\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\right)'= \left(\frac1{n+1}x^{n+1}\right)'=\frac1{n+1} (n+1)x^n=x^n.$$

Mivel $C$ deriváltja $0$, sosem kell vele ellenőrzéskor foglalkozni.

Általános szabály a határozatlan integrál meghatározásához

Bontsuk gondolatban tagokra az integrálandó függvényt (azaz az integrandust), (ezeket külön-külön integrálhatjuk), majd gondolatban emeljük ki az együtthatókat.

példa 5   Mivel lesz egyenlő

$$\int{4\sin x+\frac{4e^x}{3}-\frac{\pi}{4x}} \,\mathrm{d}x ?$$

Megoldás: Ez az integrál három tagból áll. Az első együtthatója 4, a másodiké , a harmadiké . Mindegyik függvény integrálját megtalálhatjuk a táblázatban, így az eredmény könnyen adódik:

$$\int{4\sin x+\frac{4e^x}{3}-\frac{\pi}{4x} \,\mathrm{d}x = 4... ...thrm{d}x} =-4\cos x +\frac{4e^x}{3} - \frac{\pi}{4} \ln x }+C$$

A közbenső lépést nem szoktuk leírni, a C konstanst pedig elég egyszer kiírni annak ellenére, hogy három integrálunk van.

A táblázatban nem szereplő függvények integrálása

A függvények integrálása bonyolultabb mint a deriválása. Itt csak a legfontosabb függvénytípusok integrálására található szabály. (Általában igaz, hogy nem minden függvény integrálja írható fel ,,egyszerű'' alakban. Például a is csak végtelen sok tagú összegként (végtelen sorként) írható fel.)

Az integrandus $f(ax+b)$ alakú

Ilyenkor egy primitív függvény az

példa 6  

$$\int{7\sin(3x-2)\,\mathrm{d}x} = -\frac{7cos(3x-2)}3+C$$

Az integrandus $f^n(x)f'(x)$ alakú

Szabály: $(n\ne -1)$

(Igazoljuk az állítást!)

Mi a baj az $n=-1$ esettel?

Az integrandus $\frac{f'(x)}{f(x)}$ alakú

Szabály:

Az integrandus $f(g(x))g'(x)$ alakú

Szabály:

Általában, ha egy szorzatfüggvényt integrálunk, akkor érdemes megnézni hogy az egyik összetett függvény-e. Ha a másik függvény a belső függvény deriváltja, akkor a szabály alapján integrálhatjuk.

példa 7  

$$\int{\frac{ \sin ( \ln x )}x \,\mathrm{d}x}=?$$

Megoldás: Összetett függvények esetén ellenőriznünk kell, hogy szerepel e szorzóként a belső függvény deriváltja. Itt az integrandus írható $\sin ( \ln x )\frac1x$ alakban. Az $\ln x$ függvény deriváltja az $\frac1x$ függvény, így

$$\int{\frac{ \sin ( \ln x )}x \,\mathrm{d}x}=-\cos(\ln x)+C$$

Parciális integrálás

Az azonosság alapján sok esetben egyszerűbb integrálra vezethetjük vissza az eredeti integrált. Ezt nevezzük parciális integrálásnak. (Itt még nem kell kiírni a jobboldalon a C konstanst, hisz azt az integrál tartalmazza.)

Úgy érdemes megjegyezni a módszert, hogy az eredeti integrandusban azt a függvényt érdemes általában vesszős betűvel jelölni, aminek nem bonyolult a primitívfüggvénye. (Ez általában a , , vagy függvények egyike.) A másik integrálban a másik függvényen van a vessző.

példa 8  

$$\int {\frac{5x \sin x}4 \,\mathrm{d}x } =?$$

Az -et együtthatónak tekintve kiemelhetjük az integrálásból. Mivel az fügvény primitivfüggvénye egyszerű, az függvénynek, pedig a deriváltja egyszerű, ezért és jelölésekkel használjuk a bekeretezett azonosságot. Ekkor és , tehát:

$$\int {\frac{5x \sin x}4 \,\mathrm{d}x } = -\frac{5x \cos x}4- \frac{5}4\int{ \cos x \,\mathrm{d}x}$$

Ez még nem végeredmény, de az itt szereplő integrálást már könnyen elvégezhetjük.

Néhány jellemző eset, amikor parciális integrálás alkalmazhatunk

Ezekben az esetekben az egymást követő integrálokban az

egyre kisebb kitevővel fog szerepelni.

        

Ezekben az esetekben teljesen mindegy, melyiket jelöljük gondolatban

-vel. Kétszer alkalmazva a parciális integrálást megapjuk az eredményt.

Racionális törtfüggvények integrálása

Általában az alakban írható függvényeket polinomoknak nevezzük.

Egy n-edfokú polinomnak maximum n valós gyöke lehet. Mi a továbbiakban csak ezzel a nagyon szerencsés esettel foglalkozunk. (Általánosítva megtalálható a tankönyvben.) A polinom ekkor úgynevezett gyöktényezős alakban is felírható. Ennek általános alakja:

$$a_n(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_n),$$

ahol $a_n$ a legnagyobb kitevőjű tag együtthatója, pedig a polinom gyökei. Az n gyök nem feltétlenül különböző. Ilyenkor azt mondjuk, hogy vannak többszörös gyökei. Ha $S$ különböző gyök van, a gyöktényezős alak felírható alakban is.

Például az polinom átalakítható kiemeléssel alakra. A zárójelben levő másodfokú polinom gyökeit meghatározhatjuk: $-3$ és $2$; így ez gyöktényezős alakba írva: . Tehát az eredeti polinomot átírhatjuk gyöktényezős alakba:

$$2x^4-2x^3-12x^2=2x^2(x+3)(x-2)=2(x-0)^2(x+3)(x-2).$$

(Ennek a negyedfokú egyenletnek 4 gyöke van, $S=3$ különböző gyöke.) Az utolsó alakot csak azért írtuk fel, hogy lássuk ez valóban gyöktényezős alak. Látjuk hogy itt a 0 kétszeres gyök. A $-3$ és a $+2$ egyszeres gyökök.

Racionális törtfüggvényeknek nevezzük a két polinom hányadosaként előállítható függvényeket. Például a

$$\frac{x^2+x-2}{x^4+14x^3+76x^2+162x+135}=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-5)(x+3)^3}$$

törtek egy racionális törtfüggvény két alakja, melynek a nevezője egy harmadfokú függvény. nevező gyökei $5$ és $-3$. A $-3$ háromszoros az $5$ egyszeres gyök, mert az $x+3$ tényező harmadik hatványon van, az $x-5$ tényező első hatványon.

Az integrálás elvégzéséhez a függvényt először parciális törtekre kell bontanunk.

Parciális törtekre bontás

A továbbiakban azzal az esettel fogunk foglalkozni, amikor a racionális törtfüggvény nevezője gyöktényezőkre bontható, és a számláló fokszáma kisebb mint a nevezőé. Bebizonyítható, hogy a

$$\frac{b_k x^k+\ldots+b_2 x^2+b_1 x+b_0}{a_n(x-x_1)^{l_1}(x-x_2)^{l_2}\ldots(x-x_S)^{l_S}}$$

tört ilyenkor mindíg átírható

$$\frac{A_{11}}{(x-x_1)}+\frac{A_{12}}{(x-x_1)^2}+\ldots\frac{A_{1l_1}}{(x-x_1)^{l_1}}+$$

$$+\frac{A_{21}}{(x-x_2)}+\frac{A_{22}}{(x-x_2)^2}+\ldots\frac{A_{2l_2}}{(x-x_2)^{l_2}}+\ldots+$$

$$+\frac{A_{S1}}{(x-x_S)}+\frac{A_{S2}}{(x-x_S)^2}+\ldots\frac{A_{Sl_S}}{(x-x_S)^{l_S}}$$

alakra, ahol az $A_{ij}$ valós számokat jelöl, melyeket nekünk kell meghatároznunk. Az egyes tagokat nevezzük parciális törteknek. Ez a képlet elsőre elég félelmetesnek tűnhet. Gyakorlatban, mint nemsokára látjuk ez álatalában egyszerűbb.

Az $A_{ij}$ valós számok meghatározását konkrét példán nézzük meg. A átlakítható alakra. A fenti állítás szerint ez felírható

$$\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-4)}+\frac{C}{(x-4)^2}$$

alakban. Példákban az egyszerűség kedvéért nem az $A_{ij}$ jelöléseket szoktuk használni.

Végezzük el a közös nevezőre hozást. Ekkor a nevezőben kifejezést kapjuk. Ennek egyeznie kell az eredeti tört nevezőjével. Ez bizonyíthatóan csak akkor teljesül, ha az azonos kitevőjű tagok együtthatói megegyeznek a két polinomban. Tehát a következő egyenletrendszert kapjuk:

$$\begin{eqnarray*} A+B&=&3\\ -8A-4B+C&=&-17\\ 16A&=&16 \end{eqnarray*}$$

Ebből A, B és C értéke meghatározható:

$$\begin{eqnarray*} A&=&1\\ B&=&2\\ C&=&-1. \end{eqnarray*}$$

Tehát az eredeti tört az

$$\frac{1}{x}+\frac{2}{(x-4)}-\frac{1}{(x-4)^2}$$

alakba írható át.

A parciális törtek integrálása

Ezután már nincs nehéz dolgunk. A racionális törtfüggvényt parciális törtek összegére bontottuk, ezek nevezője vagy $x-x_i$ vagy alakú . Mindegyik esetre konkrét példát mutatunk.

$$\int{\frac{2}{(x-4)}\,\mathrm{d}x}=2\cdot\mathrm{ln}\,\vert x-4\vert+C$$

$$\int{\frac{3}{(x-4)^6}\,\mathrm{d}x}=3\int{(x-4)^{-6}\,\mathrm{d}x}= -\frac{3}{5(x-4)^5}+C$$

ectionVegyes feladatok integrálszámításra

Határozott integrál előjele

A határozott integrál szemléletes jelentése - mint láttuk - a függvénygrafikon alatti (előjeles) terület (4. ábra).

Ábra: A függvény területe itt a grafikon feletti, illetve grafikon alatti területrész előjeles összege

példa 9   Számoljuk ki az értéket! A sinus függvény grafikonjának segítségével magyarázzuk meg a kapott értéket!

Megoldás:

$$\int\limits_0^{2\pi}{\sin x\,\mathrm{d}x}=\big[-\cos x\big]_0^{2\pi}=0$$

Ugyanakkora terület esik az x tengely alá, mint fölé, így előjeles területösszegük nulla.

példa 10   Állapítsuk meg a grafikonjukról, milyen előjelűek lesznek a következő integrálok! Próbáljuk megbecsülni az értéküket a grafikon alapján, majd számoljuk ki!

$$\int\limits_1^{10} \frac1x \,\mathrm{d}x = ?,\, \int\limits_{-3}^{-\frac14} \frac1x\,\mathrm{d}x = ?$$

A számértékek meghatározása 4 értékes jegy pontossággal:

$$\int\limits_1^{10} \frac1x \,\mathrm{d}x = \Big[ \ln \vert x\vert \Big]_1^{10} = \ln 10 - \ln 1 \approx 2,303$$

Illetve:

$$\int\limits_{-3}^{-\frac14} \frac1x \,\mathrm{d}x = \Big[ \... ...rt x\vert \Big]_{-3}^{-\frac14} \approx -1,386 - 1,099 = -2,485$$