Következő: A határozatlan integrál Fel: Bevezetés az integrálásba Előző: Bevezető példák Tartalomjegyzék

Alfejezetek

A Riemann-integrál fogalma
Az alsó- és a felső integrálközelítő összeg
A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibnitz-formula

A Riemann-integrál

A Riemann-integrál fogalma

RIEMANN (1826-1866) vezette be a függvénygörbe alatti terület első precíz definícióját. Őróla nevezzük ezt Riemann-integrálnak. Általában erre használjuk a határozott integrál megnevezést.

Milyen adatok jellemeznek egy ilyen integrált? Az $f(x)$ függvény és az $[a,b]$ intervallum, amin integrálunk. Az $a$ -t az integrál alsóhatárának, a $b$ -t az integrál felsőhatárának nevezzük. (Lásd 2.ábra)

**Ábra:** Ábra a Riemann-integrál fogalmához
$\begin{figure}\small \unitlength 1mm \begin{picture}(70,35)(-5,-5) \thicklines... ...m{d}x} \)}} \put(20,25){\makebox(0,0)[b]{$y=f(x)$}} \end{picture}\end{figure}$

Hogyan kapjuk meg ezt az értéket? Osszuk fel az intervallumot $n$ részre az $\mathscr F_n = \{ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n \}$ ponthalmazzal, ahol $a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$ . Ezt az $[a,b]$ intervallum egy felosztásának nevezzük. Az így keletkező intervallumokat nevezzük részintervallumoknak. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Jele: $d_n$ (A továbbiakban az 3. ábrán érdemes követni az itt leírtakat.)

**Ábra:** Integrálközelítő összeg n=3 esetre
$\begin{figure}\unitlength 1mm \small \begin{picture}(70,35)(-5,-5) \thicklines... ... %függvény \put(20,24){\makebox(0,0)[b]{$y=f(x)$}} \end{picture}\end{figure}$

Mindegyik $[x_{i-1},x_i]$ részintervallumból válasszunk ki tetszőlegesen egy $\xi_i \in [x_{i-1},x_i]$ elemet. Végiggondolható, hogy a 3. ábrán szereplő három téglalap magasságai rendre $f(\xi_1), f(\xi_2), f(\xi_3)$ , szélességeik: , , . Így például az első területe: $f(\xi_1)(x_1-x_0)$ . A téglalapok $f(\xi_1)(x_1-x_0)+f(\xi_2)(x_2-x_1)+f(\xi_3)(x_3-x_2)= \sum\limits_{i=1}^3 { f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})}$ területösszege ,,közel van'' a keresett területhez.

$\begin{displaymath}\mbox{A } \sigma_n =f(\xi_1)(x_1-x_0)+f(\xi_2)(x_2-x_1)+\, \c... ..._n)(x_n-x_{n-1})= \sum\limits_{i=1}^n{ f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})} \end{displaymath}$

képlettel definiált összeget az integrál egy n tagú közelítő összegének nevezzük. Ezt a $\Delta x_1= (x_1-x_0),\Delta x_2= (x_2-x_1),\ldots, \Delta x_n=(x_n-x_{n-1})$ jelölésekkel

$\begin{displaymath}\sigma_n =f(\xi_1)\Delta x_1+f(\xi_2)\Delta x_2+\, \cdots \, +f(\xi_n)\Delta x_n= \sum\limits_{i=1}^n{ f(\xi_i)\Delta x_i} \end{displaymath}$

alakba is átírhatjuk.

A felosztásokból készíthetünk a (számsorozatok mintájára) végtelen sorozatokat: $\mathscr F_1, \mathscr {F}_2,\mathscr F_3, \mathscr F_{4}, \ldots$ Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha a felosztáok finomságainak $d_1, d_2, \ldots$ sorozata nullához tart a sorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.

Amennyiben minden normális felosztássorozat esetén a közelítő összeg ugyanahhoz az I számhoz tart, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az $[a,b]$ intervallumon. Az I értéket nevezzük a függvény Riemann-integráljának. Jele: $\int\limits_a^b {f(x) \,\mathrm{d}x}$ vagy röviden: $\int\limits_a^b f$ .

A definíció szerint

$\begin{displaymath}\lim_{n\to \infty} \sum\limits_{i=1}^n{ f(\xi_i)\Delta x_i} = \int\limits_a^b {f(x) \,\mathrm{d}x},\end{displaymath}$

tart nullához feltétel mellett.

Bebizonyítható, hogy minden folytonos függvény Riemann-integrálható.

Az alsó- és a felső integrálközelítő összeg

Ha a $\sigma_n$ összegben az $f(\xi_i)$ helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk akkor a felső integrálközelítő összeghez jutunk:

$\begin{displaymath}s_n = \sum\limits_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1})} \end{displaymath}$

ahol $M_i$ a függvény felső határa az $[x_{i-1},x_i]$ intervallumon.

Hasonló az alsó integrálközelítő összeg definíciója is:

$\begin{displaymath}S_n = \sum\limits_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1})}, \end{displaymath}$

ahol $m_i$ az függvény alsó határa az $[x_{i-1},x_i]$ intervallumon. (Függvény alsó és felső korlátját ill. alsó és felső határát lásd a tankönyv 50. oldalán.)

Amennyiben létezik az $\int\limits_a^b f$ integrál, akkor $s_n \le \int\limits_a^b f \le S_n$ . Ilymódon az integrált ,,két érték közé tudjuk szorítani ''.

A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibnitz-formula

(véges vagy végtelen) intervallumon értelmezett $f$ függvény primitívfüggvényének nevezzük az $F$ függvényt, ha $F'(x)=f(x)$ teljesül bármely $x\in I$ esetén. (Azaz ha F deriváltja az eredeti f függvény.)

Ha egy $F(x)$ függvény primitív függvény, akkor $F(x)+C$ is az. (Mivel $C$ egy konstans, annak a deriváltja pedig nulla.) Tehát egy függvénynek végtelen sok primitívfüggvénye van, de ezeket egy konstans hozzáadásával megkapjuk egymásból.

Emlékezzünk rá, hogy a derivált a függvény ,,változási gyorsaságát'' jelentette, azaz a grafikonjának a meredekségét. Ha hozzáadunk egy konstanst, akkor a függvény képe a konstans előjelétől függően felfelé vagy lefelé tolódik. Nyilván ezzel minden pontban ugyanaz marad a meredeksége. A három grafikonon ábrázolt függvény deriváltfüggvénye tehát ugyanaz lesz.

1mm
$\begin{picture}(75,35)(-10,-5) \thicklines \put(-5,0){\vector(1,0){60}} \put(0... ...\put(-3,30){\makebox(0,0)[t]{y}} \put(55,-3){\makebox(0,0)[r]{x}} \end{picture}$

példa 1 Az $f(x)$ legyen a $\sin x$ függvény. Ennek egy primitív függvénye a $-\cos x$ függvény, hiszen $(-\cos x)' = \sin x$ , de a $-\cos x +5$ függvény is primitívfüggvény. Általánosan a $-\cos x+C$ alakú függvények primitívfüggvényei a $\sin x$ függvénynek.

Bebizonyítható, hogy a határozott integrál a következőképpen számolható:

$\framebox{ Newton--Leibnitz-formula: $ \int\limits_a^b f(x) \,\mathrm{d}x = \Big[ F(x) \Big]_a^b $}$

Ahol az $F(x)$ függvény az $f(x)$ függvény primitívfüggvénye, a $\Big[ F(x) \Big]_a^b$ pedig egy új jelölés az $F(b)-F(a)$ kifejezésre.

példa 2 ( _^32 x dx = [ -x ) _^32= -32 - (-) = 0 - 1 = -1

Érdemes felrajzolni a szinusz függvény grafikonját, megvizsgálni a $\big[ \pi , \frac{3\pi}2 \big]$ intervallumba eső részét. Vajon miért lesz az integrál értéke negatív?

Következő: A határozatlan integrál Fel: Bevezetés az integrálásba Előző: Bevezető példák Tartalomjegyzék

Horvath Arpad 2001-08-28