Bevezető példák

A megtett út

Hogyan tudnánk meghatározni a test (autó, elektron) által megtett utat, ha ismerjük minden időpillanatban a sebességét? Ha állandó v sebességgel mozog t ideig, akkor egyszerűen számíthatjuk az utat: $s=v\cdot t$. Más a helyzet, ha a sebesség változik. Például egy autó mozgásakor a következő módon:

t	[s]	0	2	3	4	6	7
v	[$\frac ms$]	10	15	17	19	23	24

Ha ennyi adatot ismerünk, meg tudjuk-e mondani, hogy mekkora utat tett meg az autó? Pontosan nem.

De jó közelítéssel megkaphatjuk az első 2s alatt megtett utat, ha a kb. $10 \frac ms \cdot 2s= 20m$ utat tesz meg, a következő 1s alatt kb $15 \frac ms \cdot 1s = 15m$ utat ... A teljes megtett út 0s-tól 7s-ig ($\approx$ jelentése közelítőleg egyenlő)

$$s \approx 10 \cdot 2+ 15 \cdot 1 + 17 \cdot 1 + 19 \cdot 2 + 23 \cdot 1 = 113m$$

Változó sebességnél tehát a t időtartamot feloszthatjuk kisebb $\Delta t_1, \Delta t_2, \Delta t_3, \ldots ,\Delta t_n$ időtartamokra, amelyeken a sebesség már nem nagyon változik, és kiszámolhatjuk az ezekhez tartozó részutak közelítő értékét:

$$v_1\Delta t_1, v_2\Delta t_2, v_3\Delta t_3, \ldots ,v_n\Delta t_n,$$

ahol a $v_1, v_2, v_3,\ldots, v_n$ a megfelelő időtartamokhoz tartozó sebességek.

Nyilván a részutak összegével közelíthetjük a megtett utat:

$$s \approx v_1\Delta t_1 + v_2\Delta t_2 + v_3\Delta t_3+ \ldots + v_n\Delta t_n$$

Röviden:

$$s \approx \sum_{i=1}^{n} v_i\Delta t_i$$

(Ejtsd: i= 1-től n-ig szumma vé íszer delta té í)

Majdnem mindegy a $\Delta t_i$ időtartam (időintervallum) melyik pillanatához tartozó sebesség a $v_i$, ha elég kicsi időintervallumokat vettünk ahhoz, hogy azalatt a sebesség ne nagyon változzon.

Természetesen mennél pontosabban szeretnék a megtett utat számolni, annál több és annál kisebb részekre kell bontani az egész időintervallumot. A fenti összefüggés csak akkor lesz egyenlőség, ha a részintervallumok hossza az egyre több részre bontással nullához tart. (Gondoljuk végig, hogy úgy is oszthatnánk egyre több részre az időtartamot, hogy az egyik részintervallum hossza nem változik, a többit osztjuk tovább. Ez nekünk nem jó. Ki kell kötnünk, hogy ne lehessen így. Azaz közülük a legnagyobbnak a hossza is tartson nullához.)

Tehát a pontos útképlet:

$$s =\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} v_i\Delta t_i,$$

feltéve, hogy a részintervallumok hossza nullához tart.

Ezt fogjuk röviden a következő két módon jelölni:

$$s = \int\limits_{0}^{t}{ v(t) \,\mathrm{d}t} =\int\limits_{0}^{t}{ v\,\mathrm{d}t}.$$

(Ejtsd: ess egyenlő integrál nullától téig vé té dé té. A nulla jelöli a kezdőidőpontot. Az integrál jele egy elnyújtott S (szumma).)

Vegyük észre, hogyha az idő függvényében ábrázoljuk a sebesség nagyságát, és függőleges vonalakkal a grafikon alatti területet kis szeletekre vágjuk, akkor a $v_i\cdot \Delta t_i$ szorzatok a grafikon egy-egy szeletének a területét közelítik (1. ábra), a szorzatok összege pedig az egész grafikon alatti területet. Minnél kisebb $\Delta t_i$ szakaszokat veszünk annál jobb közelítését kapjuk a területnek.

Ábra: Egy szelet területének közelítése

Később látjuk majd, ha a sebesség az idő függvényében egy képlettel adható meg, akkor általában sokkal egyszerűbb módon számolhatunk.

A munka (Kiegészítő anyag)

Hasonló a helyzet a munka fogalmával. Hogyha a testre ható $\bar F$ erővektor állandó és a test egyenesen mozdul el A pontból B pontba, akkor

$$W_{AB} = F_s \cdot s,$$

ahol s az elmozdulás nagysága és $F_s$ az erővektor elmozdulás irányú vetülete. Egyenes vonalú elmozdulás esetén $F_s$ állandó.

Ha azonban $F_s$ változik, akkor kis szakaszokra bonthatjuk a megtett utat. Ez két szempontból lesz jó. Először is ezeken a szakaszokon az $F_s$ már nem nagyon változik, valamint ezek a szakaszok már közel egyenes szakaszok. Így egy elég kicsi $\Delta s_i$ elmozdulás esetén közelíthetjük a munkát az $F_{s_i}\cdot\Delta s_i$ képlettel, a teljes munkát pedig közelíthetjük ezek összegével:

$$W_{AB} \approx \sum_{i=1}^{n} F_{s_i}\Delta s_i$$

Ebből kapjuk egyre kisebb szakaszokat véve:

$$W_{AB} = \lim_{n \to \infty}\, \sum_{i=1}^{n} F_{s_i}\Delta s_i,\qquad W_{AB} =\int\limits_{0}^{s}{ F_s \,\mathrm{d}s}.$$

Ebben az esetben is értelmezhetjük az integrált grafikon alatti területként. Melyik függvény grafikonja alatti területről van itt szó? (Mi van a két tengelyen?)

A potenciál (Kiegészítő anyag)

Emlékeztető:
Elektromos mezőben egy q próbatöltést mozgatunk A pontból B-be. A potenciálkülönbség definíciója $U_{AB}= \frac{W_{AB}}q$ (Ez független attól milyen úton jutok oda.) A térerősség definíciója $E=\displaystyle\frac Fq$ (Független a q töltés nagyságától).

Könnyen levezethető a fenti összefüggésekből: hogyha az $\bar E$ térerősségvektor állandó és egyenesen mozdulok el A pontból B pontba, akkor $U_{AB} = E_s \cdot s$, ahol s az elmozdulás nagysága és $E_s$ a térerősségvektor elmozdulás irányú vetülete. Ekkor $E_s$ állandó.

Ha azonban $E_s$ változik, akkor a munkához hasonló módon kaphatjuk a közelítő összeget:

$$U_{AB} \approx \sum_{i=1}^{n} E_{s_i}\Delta s_i$$

Ebből kapjuk egyre kisebb szakaszokat véve:

$$U_{AB} = \lim_{n \to \infty}\, \sum_{i=1}^{n} E_{s_i}\Delta s_i,\qquad U_{AB} =\int\limits_{0}^{s}{ E_s \,\mathrm{d}s}.$$